math-expert - SKILL.md Agent Skill

name: math-expert description: Ecuaciones diferenciales ordinarias (separable, lineal 1º orden, coeficientes indeterminados, variación de parámetros), análisis complejo básico (funciones holomorfas, serie de Fourier), álgebra lineal avanzada (autovalores, diagonalización, SVD conceptual), topología básica. Nivel: licenciatura/máster. tags: [stem, math, expert]

William E. Boyce & Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley
Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer (3ª ed.)
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (Baby Rudin), McGraw-Hill
Lars Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill

EDO de primer orden separable: dy/dx = g(x)·h(y)
- Solución: ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C
EDO de primer orden lineal: dy/dx + P(x)y = Q(x)
- Factor integrante: μ(x) = e^(∫P(x)dx)
- Solución: y(x) = (1/μ(x)) · [∫ μ(x)·Q(x) dx + C]
EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes:
- ay'' + by' + cy = 0
- Ecuación característica: ar² + br + c = 0
- Raíces reales distintas r₁ ≠ r₂: y = C₁·e^(r₁x) + C₂·e^(r₂x)
- Raíces dobles r: y = (C₁ + C₂x)·e^(rx)
- Raíces complejas α ± βi: y = e^(αx)·(C₁·cos(βx) + C₂·sin(βx))
Coeficientes indeterminados (parte no homogénea):
- ay'' + by' + cy = g(x)
- Solución: y = y_h + y_p (homogénea + particular)
- Para g(x) = P_n(x)·e^(αx): probar y_p = x^s·Q_n(x)·e^(αx) (s = multiplicidad de α como raíz)
- Para g(x) = e^(αx)·(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)): probar forma similar con coeficientes indeterminados
Variación de parámetros:
- Para y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)
- y_p = u₁(x)·y₁ + u₂(x)·y₂
- u₁' = -y₂·g/W, u₂' = y₁·g/W
- Wronskiano: W(y₁, y₂) = y₁y₂' - y₁'y₂
Sistemas de EDOs lineales:
- x' = Ax → solución por autovalores: x = Σ C_i · v_i · e^(λ_i·t)
- Si A tiene autovalores complejos λ = α ± βi con autovectores complejos, la solución real combina e^(αt)cos(βt) y e^(αt)sin(βt)

Función holomorfa: f: ℂ → ℂ es holomorfa en z₀ si f'(z₀) existe.
- Condiciones de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y y ∂u/∂y = -∂v/∂x, donde f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
- Si se cumplen en un abierto y las derivadas parciales son continuas, f es holomorfa.
Funciones elementales complejas:
- e^(z) = e^(x+iy) = e^x·(cos(y) + i·sin(y)) = e^x·e^(iy)
- log(z) = ln|z| + i·arg(z) (multivaluada; rama principal: Arg(z) ∈ (-π, π])
- z^α = e^(α·log(z)) (multivaluada si α no es entero)
Serie de Fourier:
- f(x) = a₀/2 + Σ_{n=1}^{∞} [a_n·cos(nωx) + b_n·sin(nωx)], ω = 2π/T
- a_n = (2/T) ∫_0^T f(x)·cos(nωx) dx
- b_n = (2/T) ∫_0^T f(x)·sin(nωx) dx
- Forma compleja: f(x) = Σ_{n=-∞}^{∞} c_n · e^(inωx), c_n = (1/T) ∫_0^T f(x)·e^(-inωx) dx
- Teorema de Dirichlet: converge a f(x) si f es a trozos suave

Autovalores y autovectores: Av = λv, v ≠ 0
- λ es autovalor, v es autovector asociado
- Polinomio característico: det(A - λI) = 0
- Trace(A) = Σ λ_i = Σ a_ii; det(A) = Π λ_i
Diagonalización: A = PDP^(-1) donde D es diagonal de autovalores y P tiene autovectores como columnas.
- A es diagonalizable si y solo si tiene n autovectores linealmente independientes.
- Cada autovalor con multiplicidad algebraica m debe tener multiplicidad geométrica m.
Espacios con producto interno:
- ⟨u, v⟩ = Σ u_i · v_i (producto escalar estándar)
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |⟨u, v⟩| ≤ |u| · |v|
- Desigualdad triangular: |u + v| ≤ |u| + |v|
- Ortogonalidad: ⟨u, v⟩ = 0
Proceso de Gram-Schmidt: ortonormalizar un conjunto {v₁, ..., v_n}:
- u₁ = v₁; e₁ = u₁/|u₁|
- u_k = v_k - Σ_{j=1}^{k-1} ⟨v_k, e_j⟩·e_j; e_k = u_k/|u_k|
Descomposición SVD (conceptual):
- A = UΣV^T, donde U y V son ortogonales, Σ es diagonal con valores singulares σ_i ≥ 0
- σ_i = √(λ_i(A^T A))
- Rango(A) = número de valores singulares no nulos
- Aplicaciones: compresión de datos, mínimos cuadrados, pseudo-inversa

Espacio métrico: (X, d) donde d: X × X → ℝ cumple: d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⟺ x = y, d(x,y) = d(y,x), d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)
Entorno abierto: B_r(x) = {y ∈ X : d(x,y) < r} (bola abierta)
Conjunto abierto: A ⊆ X es abierto si ∀x ∈ A, ∃r > 0 tal que B_r(x) ⊆ A
Conjunto cerrado: A es cerrado si su complementario X\A es abierto
Punto de acumulación: x es punto de acumulación de A si toda bola B_r(x) contiene un punto de A distinto de x
Clausura: cl(A) = A ∪ A' (A union de sus puntos de acumulación)
Compacto (en ℝ^n): cerrado y acotado (teorema de Heine-Borel)
- Toda cubierta abierta tiene subcubierta finita
- Toda sucesión tiene subsucesión convergente (Bolzano-Weierstrass)
Conexo: X es conexo si no se puede escribir como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos
Teorema de Bolzano: si f es continua en [a,b] y f(a)·f(b) < 0, ∃c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0

Condiciones de existencia en EDOs: el teorema de existencia y unicidad (Picard-Lindelöf) requiere que f(x,y) y ∂f/∂y sean continuas en una región. Si no se cumplen, puede haber múltiples soluciones o ninguna.
Interpretación geométrica de autovalores: λ > 0 implica expansión en dirección de v; λ < 0 implica inversión + expansión; |λ| < 1 implica contracción.
Hipótesis de teoremas: el teorema espectral requiere que A sea simétrica (autoadjunta). No toda matriz es diagonalizable.
Función logaritmo compleja: es multivaluada. log(z) = ln|z| + i(Arg(z) + 2πk). La rama principal fija k = 0.
Convergencia de Fourier: la serie de Fourier puede no converger puntualmente a f(x) en discontinuidades (converge al promedio de límites laterales).
SVD vs diagonalización: SVD existe para toda matriz (rectangular o no). La diagonalización solo para matrices cuadradas con n autovectores LI.