By name: math-basics description: Aritmética, álgebra elemental, proporcionalidad, porcentajes, ecuaciones 1º y 2º grado, notación científica, fracciones, potencias, raíces, MCD/MCM, desigualdades simples. Nivel: secundaria/ESO/Bachillerato inicial. tags: [stem, math, basics]
Fundamentos Matemáticos — Aritmética y Álgebra Elemental
Referencias de autoridad
- Khan Academy, Algebra 1 — khanacademy.org/math/algebra
- Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales — rac.es
- Currículo oficial ESO y Bachillerato (LOMLOE), Ministerio de Educación español
- Algebra de Israel M. Gelfand, Pearson
Contenido clave
Aritmética y números
- Jerarquía de operaciones (PEMDAS): paréntesis, exponentes, multiplicación/división (izquierda a derecha), suma/resta (izquierda a derecha)
- Fracciones: a/b + c/d = (ad + bc) / bd; a/b × c/d = ac / bd; a/b ÷ c/d = ad / bc
- Simplificación de fracciones: dividir numerador y denominador por su MCD
- MCD(a, b): máximo común divisor — algoritmo de Euclides: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b)
- MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b)
- Números negativos: (-a) × (-b) = +ab; (-a) × (+b) = -ab
Potencias y raíces
- a^m × a^n = a^(m+n); a^m / a^n = a^(m-n); (a^m)^n = a^(mn); a^0 = 1 (a ≠ 0)
- a^(-n) = 1/a^n
- a^(m/n) = ∛n — raíz n-ésima de a^m
- √(a × b) = √a × √b; √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)
Ecuaciones
- Ecuación de 1º grado: ax + b = 0 → x = -b/a (a ≠ 0)
- Ecuación de 2º grado: ax² + bx + c = 0
- Fórmula: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
- Discriminante: Δ = b² - 4ac
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas
- Δ = 0: una solución real doble (x = -b/(2a))
- Δ < 0: sin soluciones reales (dos complejas conjugadas)
- Teorema de Vieta: x₁ + x₂ = -b/a; x₁ × x₂ = c/a
- Factorización: a² - b² = (a+b)(a-b); a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²
Proporcionalidad y porcentajes
- Proporcionalidad directa: y = kx → k = y/x (constante de proporcionalidad)
- Proporcionalidad inversa: y = k/x → k = xy
- Porcentaje: p% de N = (p/100) × N
- Variación porcentual: ((valor_final - valor_inicial) / valor_inicial) × 100%
- Descuentos encadenados: P × (1-d₁)(1-d₂)... (NO sumar porcentajes)
Notación científica
- Forma: a × 10^n, donde 1 ≤ |a| < 10 y n ∈ ℤ
- Multiplicación: (a × 10^m) × (b × 10^n) = (ab) × 10^(m+n)
- División: (a × 10^m) / (b × 10^n) = (a/b) × 10^(m-n)
Desigualdades
- ax > b → x > b/a si a > 0; x < b/a si a < 0 (el signo se invierte al multiplicar/dividir por negativo)
- Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|
- |x| < a → -a < x < a; |x| > a → x < -a o x > a
Sistemas de numeración y conversión
- Binario a decimal: Σ d_i × 2^i
- Decimal a binario: división sucesiva por 2
Unidades y sistema SI
- No aplica directamente (matemáticas puras), pero las cantidades físicas asociadas usan SI:
- Longitud: metro (m)
- Masa: kilogramo (kg)
- Tiempo: segundo (s)
- Temperatura: kelvin (K)
Errores comunes / Pitfalls
- Signo en ecuación cuadrática: olvidar el ± en la fórmula general produce perder una solución. Siempre escribir ambos signos.
- Orden de operaciones: 3 + 4 × 2 = 11, no 14. La multiplicación va antes que la suma.
- Dividir por cero: x = -b/a requiere a ≠ 0. Si a = 0, la ecuación no es de primer grado.
- Simplificar fracciones: no simplificar antes de operar lleva a números grandes y errores. Simplificar siempre antes.
- Raíz de número negativo: √(-1) no es real. No extraer raíz de negativo en ℝ.
- Porcentajes encadenados: un 10% de descuento + otro 10% NO es 20%. Es 1 - 0.9 × 0.9 = 19%.
- Potencia de potencia: (a^m)^n ≠ a^(m^n). Es a^(m×n).
- a^(m/n) ≠ a^m / n: es la raíz n-ésima de a^m.
Verificación
- Comprobar solución sustituyendo en la ecuación original
- Ecuación cuadrática: verificar que x₁ + x₂ = -b/a y x₁ × x₂ = c/a
- Porcentaje: verificar que el resultado tiene la magnitud correcta (un 50% de 200 = 100)
- Notación científica: verificar que 1 ≤ |a| < 10
- Fracciones: verificar simplificando el resultado y comparando con operar directamente
- Desigualdad: probar un valor de la solución y uno fuera para verificar el sentido