math-trigonometria

name: math-trigonometria description: Razones trigonométricas, identidades fundamentales, ecuaciones trigonométricas, funciones seno, coseno, tangente, teorema del seno y coseno. tags: [stem, math, intermediate]

Trigonometría

Razones trigonométricas en triángulo rectángulo

• sen(θ) = cateto opuesto / cateto hipotenusa
• cos(θ) = cateto adyacente / cateto hipotenusa
• tan(θ) = sen(θ) / cos(θ) = cateto opuesto / cateto adyacente
• csc(θ) = 1/sen(θ), sec(θ) = 1/cos(θ), cot(θ) = 1/tan(θ)

Triángulo notables

• 30°-60°-90°: lados 1, √3, 2
• 45°-45°-90°: lados 1, 1, √2

Valores notables

Identidades fundamentales

Pitagóricas

• sen²(θ) + cos²(θ) = 1
• 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
• 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

Ángulo doble

• sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ)
• cos(2θ) = cos²(θ) - sen²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sen²(θ)
• tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))

Mitad

• sen(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)
• cos(θ/2) = ±√((1 + cos(θ))/2)
• tan(θ/2) = sen(θ)/(1 + cos(θ)) = (1 - cos(θ))/sen(θ)

Suma y diferencia

• sen(α ± β) = sen(α)cos(β) ± cos(α)sen(β)
• cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sen(α)sen(β)
• tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β))

Producto a suma

• sen(α)sen(β) = ½[cos(α-β) - cos(α+β)]
• cos(α)cos(β) = ½[cos(α-β) + cos(α+β)]
• sen(α)cos(β) = ½[sen(α+β) + sen(α-β)]

Funciones trigonométricas

Seno: y = sen(x)

• Período: 2π
• Dominio: R, Rango: [-1, 1]
• Impar: sen(-x) = -sen(x)

Coseno: y = cos(x)

• Período: 2π
• Dominio: R, Rango: [-1, 1]
• Par: cos(-x) = cos(x)

Tangente: y = tan(x)

• Período: π
• Dominio: R \ {π/2 + kπ}, Rango: R
• Impar: tan(-x) = -tan(x)
• Asíntotas en x = π/2 + kπ

Teorema del seno y coseno

Teorema del seno

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R (R = circunradio)

Teorema del coseno (Ley de cosenos)

c² = a² + b² - 2ab·cos(C) a² = b² + c² - 2bc·cos(A) b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

Pitfall: El teorema del coseno generaliza Pitágoras. Si C = 90°, cos(C) = 0 y se reduce a c² = a² + b².

Área de un triángulo

• Área = ½ab·sen(C) = ½bc·sen(A) = ½ac·sen(B)
• Fórmula de Herón: Área = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), donde s = (a+b+c)/2

Ecuaciones trigonométricas

• sen(x) = a → x = arcsen(a) + 2kπ o x = π - arcsen(a) + 2kπ (solo si |a| ≤ 1)
• cos(x) = a → x = arccos(a) + 2kπ o x = -arccos(a) + 2kπ (solo si |a| ≤ 1)
• tan(x) = a → x = arctan(a) + kπ

Radianes

• 360° = 2π rad, 180° = π rad, 90° = π/2 rad
• θ(rad) = θ(°) · π/180
• Longitud de arco: s = r · θ (θ en radianes)
• Área de sector circular: A = ½r²θ (θ en radianes)

Errores comunes / Pitfalls

• Grados vs radianes: las derivadas/integrales de trig solo funcionan con radianes
• sen²(x) = (sen(x))², NO sen(x²)
• arcsen(sen(x)) ≠ x en general. Solo es x si x ∈ [-π/2, π/2]
• arccos(cos(x)) ≠ x en general. Solo es x si x ∈ [0, π]
• Identidad doble: cos(2θ) tiene 3 formas equivalentes, usar la más conveniente
• Ecuaciones: siempre dar TODAS las soluciones en el intervalo dado

Verificación

• Verificar identidades sustituyendo valores notables
• En ecuaciones: ¿todas las soluciones en el intervalo?
• sen² + cos² = 1 para cualquier ángulo
• Teorema del seno: verificar que lados mayores corresponden a ángulos mayores
• Conversión grados↔radianes: 180° = π