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name: math-expert description: Ecuaciones diferenciales ordinarias, análisis complejo básico, álgebra lineal avanzada (autovalores, diagonalización, SVD), topología básica. tags: [stem, math, expert]

Matemáticas Expertas

Referencias de autoridad

• Boyce, W. & DiPrima, R. — Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley
• Axler, S. — Linear Algebra Done Right, Springer (3rd ed.)
• Rudin, W. — Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.), McGraw-Hill ("Red Book")
• Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, Wiley
• Nagle, S., Saff, E. & Snider, A. — Fundamentals of Differential Equations, Pearson

Contenido clave

Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

Clasificación:

• Orden: mayor derivada presente. 1º, 2º, etc.
• Lineal: y y sus derivadas aparecen con grado 1 y sin productos entre ellas.
• Homogénea: término independiente = 0.

EDO separable (1º orden): dy/dx = g(x)h(y)

• Método: dy/h(y) = g(x)dx → ∫dy/h(y) = ∫g(x)dx + C
• Ejemplo: dy/dx = ky → ln|y| = kx + C → y = Ce^(kx)

EDO lineal (1º orden): dy/dx + P(x)y = Q(x)

• Factor integrante: μ(x) = e^(∫P(x)dx)
• Solución: y · μ(x) = ∫Q(x)μ(x)dx + C
• y = (1/μ(x)) · [∫Q(x)μ(x)dx + C]

EDO lineal (2º orden, coeficientes constantes): ay'' + by' + cy = 0

• Ecuación característica: ar² + br + c = 0
• Raíces reales distintas r₁ ≠ r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
• Raíces repetidas r₁ = r₂ = r: y = C₁e^(rx) + C₂xe^(rx)
• Raíces complejas α ± βi: y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sen βx)

EDO no homogénea: ay'' + by' + cy = g(x)

• Solución general: y = yₕ + yₚ (homogénea + particular)
• Coeficientes indeterminados: suponer forma de yₚ según g(x)
  • g(x) = Pₙ(x) → yₚ = xˢQₙ(x)
  • g(x) = e^(αx) → yₚ = xˢAe^(αx)
  • g(x) = sen(βx) o cos(βx) → yₚ = xˢ(A sen βx + B cos βx)
  • s = 0, 1 o 2 según si la forma propuesta es o no solución de la homogénea
• Variación de parámetros: yₚ = u₁(x)y₁ + u₂(x)y₂
  • u₁' = -y₂g/W, u₂' = y₁g/W
  • W = Wronskiano = y₁y₂' - y₂y₁'

Condiciones de existencia y unicidad (Teorema de Picard-Lindelöf):

• dy/dx = f(x, y), y(x₀) = y₀
• Si f y ∂f/∂y son continuas en un rectángulo que contiene (x₀, y₀), existe única solución local.

Álgebra lineal avanzada

Autovalores y autovectores:

• Av: λv = Av, donde v ≠ 0
• Ecuación característica: det(A - λI) = 0
• Trace(A) = Σλᵢ (suma de autovalores = traza)
• det(A) = Πλᵢ (producto de autovalores = determinante)
• Espacio propio Eλ = {v : Av = λv} = nul(A - λI)

Diagonalización:

• A es diagonalizable ⟺ tiene n autovalores linealmente independientes (n = dimensión)
• A = PDP⁻¹, donde D = diag(λ₁, ..., λₙ), P = [v₁ | v₂ | ... | vₙ]
• Si A es simétrica (A = Aᵀ), entonces es diagonalizable ortogonalmente: A = QDQᵀ con Q ortogonal.

Valores singulares (SVD):

• A = UΣVᵀ donde U, V son ortogonales y Σ es diagonal con σᵢ ≥ 0
• σᵢ = √(λᵢ(AᵀA)) — valores singulares son raíces cuadradas de autovalores de AᵀA
• rank(A) = número de valores singulares no nulos
• Aplicaciones: compresión de datos, pseudo-inversa de Moore-Penrose, mínimos cuadrados

Teorema espectral (matrices simétricas reales):

• A simétrica real ⟺ existe base ortonormal de autovectores
• Todos los autovalores son reales
• A = QDQᵀ con Q ortogonal

Forma canónica de Jordan:

• Toda matriz A ∈ ℂⁿˣⁿ es similar a una matriz Jordan J: A = PJP⁻¹
• Bloques de Jordan: Jλ = λ en diagonal, 1 sobre diagonal
• Dimensión del espacio propio geométrico ≤ multiplicidad algebraica

Análisis complejo básico

Funciones holomorfas:

• f(z) = u(x,y) + iv(x,y) es holomorfa en z₀ si es diferenciable en un entorno de z₀
• Ecuaciones de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x
• Si f es holomorfa, entonces es infinitamente diferenciable (teorema de Goursat).

Serie de Fourier (funciones periódicas de periodo 2L):

• f(x) = a₀/2 + Σₙ₌₁^∞ [aₙ cos(nπx/L) + bₙ sen(nπx/L)]
• a₀ = (1/L)∫₋ₗˡ f(x)dx
• aₙ = (1/L)∫₋ₗˡ f(x)cos(nπx/L)dx
• bₙ = (1/L)∫₋ₗˡ f(x)sen(nπx/L)dx
• Si f es par: bₙ = 0 (serie de cosenos)
• Si f es impar: aₙ = 0 (serie de senos)
• Teorema de convergencia de Dirichlet: si f es por tramos suave, la serie converge a f(x) en puntos de continuidad y a [f(x⁺) + f(x⁻)]/2 en discontinuidades.

Topología básica

Espacio métrico (X, d):

• d: X × X → ℝ tal que: d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⟺ x = y, d(x,y) = d(y,x), d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z)

Abiertos y cerrados (en ℝⁿ con métrica euclídea):

• Bola abierta: Bᵣ(x₀) = {x ∈ X : d(x, x₀) < r}
• Abierto: U ⊆ X es abierto si ∀x ∈ U, ∃r > 0 tal que Bᵣ(x) ⊆ U
• Cerrado: F ⊆ X es cerrado si X \ F es abierto
• La bola abierta NO es cerrada (y viceversa) en ℝⁿ
• ∅ y X son abiertos y cerrados a la vez (conexos)

Compacidad (en ℝⁿ):

• Teorema de Heine-Borel: F ⊆ ℝⁿ es compacto ⟺ F es cerrado y acotado
• Propiedad: imagen de compacto por función continua es compacta
• Toda sucesión en compacto tiene subsucesión convergente (secuencialmente compacto)

Conexidad:

• Conexo por caminos: ∀x,y ∈ X, ∃γ: [0,1] → X continuo con γ(0) = x, γ(1) = y
• En ℝ: los únicos subconjuntos conexos son los intervalos

Unidades y sistema SI

• EDOs: las unidades dependen del problema físico. Verificar dimensionalidad de cada término.
• Autovalores: mismas unidades que la traza de A (suma de elementos diagonales).
• SVD: valores singulares tienen mismas unidades que A.
• Series de Fourier: coeficientes tienen mismas unidades que f(x).
• Topología: abstracto, sin unidades físicas inherentes.

Errores comunes / Pitfalls

• Condiciones de existencia en EDOs: el teorema de Picard requiere continuidad de f Y de ∂f/∂y. Si ∂f/∂y es discontinua, puede haber no unicidad (ej: y' = y^(2/3), y(0) = 0 tiene infinitas soluciones).
• Interpretación geométrica de autovalores: |λ| = factor de escala en dirección del autovector. λ < 0 = reflexión. λ = 0 = colapso a dimensión inferior.
• Hipótesis del teorema espectral: solo aplica a matrices SIMÉTRICAS reales (A = Aᵀ). No a matrices normales ni generales.
• Diagonalización: una matriz con autovalores repetidos puede NO ser diagonalizable si el espacio propio geométrico tiene dimensión < multiplicidad algebraica.
• SVD vs diagonalización: SVD existe PARA TODA MATRIZ (rectangular o no). La diagonalización solo para cuadradas y con n autovectores independientes.
• Serie de Fourier en discontinuidad: la serie converge al promedio de límites laterales, NO al valor de la función. Fenómeno de Gibbs: overshoot ~9% cerca de discontinuidad.
• Ecuaciones de Cauchy-Riemann: son NECESARIAS pero NO SUFICIENTES por sí solas. Se requiere continuidad de las derivadas parciales.
• Compacidad en ℝⁿ: en espacios generales, cerrado y acotado NO implica compacto. Solo en ℝⁿ con métrica euclídea (Heine-Borel).

Verificación

• EDO separable: sustituir solución y verificar que satisface la ecuación original
• EDO lineal 2º orden: verificar que yₕ satisface la homogénea y yₚ la no homogénea
• EDO lineal 2º orden: verificar ecuación característica y tipos de raíces
• Coeficientes indeterminados: verificar que la forma propuesta de yₚ no es solución de la homogénea (ajustar s)
• Wronskiano: W ≠ 0 ⟺ soluciones linealmente independientes
• Autovalores: verificar det(A - λI) = 0 para cada λ encontrado
• Autovectores: verificar Av = λv para cada par (λ, v)
• Diagonalización: verificar AP = PD
• SVD: verificar AAᵀ = UΣ²Uᵀ y AᵀA = VΣ²Vᵀ
• Serie de Fourier: verificar coeficientes aₙ, bₙ calculando las integrales
• Compacidad: verificar que el conjunto es cerrado (contiene sus puntos de acumulación) y acotado (contenido en una bola)