stem-estatica

name: stem-estatica description: Estática de estructuras: vigas, armaduras (método nodos/secciones), cables, estructuras 2D/3D, métodos matriciales, energía de deformación y teoremas de Castigliano. tags: [stem, engineering, statics]

Estática de Estructuras

Referencias de autoridad

• Hibbeler: Structural Analysis, 9ª edición, Pearson
• Bedford & Fowler: Engineering Mechanics: Statics, 5ª edición, Prentice Hall
• Timoshenko: Theory of Structures, McGraw-Hill
• Serrano: Estática de Estructuras, UPC

Equilibrio de cuerpos rígidos

Ecuaciones de equilibrio (2D)

• ΣF_x = 0
• ΣF_y = 0
• ΣM_O = 0 (momento respecto a cualquier punto O)

Ecuaciones de equilibrio (3D)

• ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣF_z = 0
• ΣM_x = 0, ΣM_y = 0, ΣM_z = 0

Tipos de apoyos y reacciones

• Rodillo: 1 reacción (perpendicular al apoyo)
• Articulación (pivote): 2 reacciones (Fx, Fy)
• Empotramiento: 3 reacciones (Fx, Fy, M)
• Bola: 3 reacciones (Fx, Fy, Fz)
• Bola-cónica: 2 reacciones

Estructuras reticulares (armaduras)

Suposiciones

• Todas las cargas en nudos
• Barras biseladas en ambos extremos
• Las barras solo soportan esfuerzos axiales (tracción o compresión)

Método de los nudos

• ΣFx = 0 y ΣFy = 0 en cada nudo
• Barras cero: identificar antes de calcular
  • Dos barras no colineales en nudo sin carga externa → ambas son cero
  • Tres barras, dos colineales, sin carga externa → la tercera es cero

Método de las secciones

• Cortar la estructura en una sección que pase por máximo 3 barras
• ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
• Ideal para encontrar barras específicas sin resolver toda la estructura

Estabilidad e indeterminación

• 2D: m + r = 2j → isostática; m + r > 2j → hiperestática; m + r < 2j → inestable
  • m = barras, r = reacciones, j = nudos
• 3D: m + r = 3j → isostática

Vigas y marcos

Esfuerzos internos

• Cortante (V): ΣF_y en la sección
• Momento flector (M): ΣM en la sección
• Esfuerzo normal (N): ΣF_x en la sección

Relación carga-cortante-momento

• dV/dx = -w(x)
• dM/dx = V(x)
• ΔV = -∫w(x)dx
• ΔM = ∫V(x)dx

Diagramas de V y M

• Carga puntual: salto en V, quiebro en M
• Carga distribuida uniforme: V lineal, M parabólica
• Carga triangular: V parabólica, M cúbica
• Momento aplicado: salto en M

Vigas hiperestáticas

• Grado de hiperestaticidad: r - 3 (2D) o r + m - 3j (armadura)
• Métodos:
  • Ecuaciones de compatibilidad: deflexiones conocidas
  • Método de fuerzas: eliminar apoyos, aplicar cargas ficticias
  • Método de rigidez: desplazamientos nodales como incógnitas
  • Método de Cross (momentos): distribución de momentos

Cables y arcos

Cables

• Cable con carga puntual: forma poligonal
• Cable con carga distribuida uniforme: parábola
  • y = (w/2T₀)·x²
• Cable con carga distribuida a lo largo del arco: catenaria
  • y = a·cosh(x/a) = a·(e^(x/a) + e^(-x/a))/2
  • a = T₀/w

Arcos

• Arco de tres articulaciones: isostático
• Arco biarticulado: hiperestático 1º grado
• Empotrado: hiperestático 3º grado
• Empuje horizontal: H = M₀/L (arco parabólico con carga uniforme)

Métodos matriciales

Método de rigidez

• Matriz de rigidez local (barra 2D):
  • k = EA/L · [[1, 0, -1, 0], [0, 0, 0, 0], [-1, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0]]
• Matriz de rigidez global: k_global = Tᵀ·k_local·T
• Ensamblaje: K_global·D = F
• Condición de contorno: eliminar filas/columnas de desplazamientos conocidos

Matriz de rigidez de barra 2D

• u = cos(θ), v = sen(θ)
• k = (EA/L) · [[u², uv, -u², -uv], [uv, v², -uv, -v²], [-u², -uv, u², uv], [-uv, -v², uv, v²]]

Energía de deformación

Energía elástica de deformación

• Tracción/compresión: U = N²L/(2EA)
• Flexión: U = ∫M²/(2EI)dx
• Cortante: U = ∫kV²/(2GA)dx (k = factor de forma)
• Torsión: U = T²L/(2GJ)

Teorema de Castigliano

Primer teorema

• δ_i = ∂U/∂P_i (desplazamiento en el punto de aplicación de P_i)

Segundo teorema (para estructuras hiperestáticas)

• ∂U/∂R_i = 0 (para reacciones en apoyos fijos)
• Usar para resolver estructuras hiperestáticas

Método de la carga ficticia

• Añadir carga ficticia Q en el punto donde se busca el desplazamiento
• U = U(P, Q)
• δ = ∂U/∂Q |_(Q=0)

Teorema de Maxwell-Betti

• δ_ij = δ_ji (reciprocidad de influencias)
• El desplazamiento en i debido a carga en j = desplazamiento en j debido a carga en i

Teorema de Menabrea-Castigliano

• Para estructuras hiperestáticas: ∂U/∂X_i = 0 donde X_i son las incógnitas hiperestáticas

Diagramas de influencia

Concepto

• Representa el efecto de una carga unitaria móvil en una sección determinada
• Ecuación de Müller-Breslau: la forma de la deformada con la restricción eliminada = diagrama de influencia

Aplicaciones

• Cortante en una sección: desplazamiento relativo en la sección
• Momento en una sección: giro relativo en la sección
• Reacción en un apoyo: desplazamiento vertical del apoyo

Cargas móviles

• Carga puntual móvil: colocar en el pico del diagrama
• Carga distribuida móvil: colocar donde el diagrama tenga mayor área
• Valor máximo: P·y_pico + w·Área

Errores comunes / Pitfalls

• Barras cero: no identificarlas antes de calcular → trabajo extra innecesario
• Hiperestaticidad: contar mal reacciones. En 2D: 3 ecuaciones de equilibrio
• Signos en V y M: convención: V positivo si rota en sentido horario, M positivo si comprime fibra superior
• Müller-Breslau: el diagrama de influencia es PROPORCIONAL a la deformada, no igual
• Castigliano: solo aplica a materiales lineales elásticos
• Arco de tres articulaciones: isostático. Verificar que las tres articulaciones no estén alineadas

Verificación

• Equilibrio 2D: 3 ecuaciones, 3 incógnitas → isostático
• Armadura 2D: m + r = 2j → isostática
• Cortante: dV/dx = -w. Verificar con carga uniforme: V lineal
• Momento: dM/dx = V. Verificar con V lineal: M parabólica
• Castigliano: δ = ∂U/∂P. Verificar unidades: [J/N] = [m] ✓
• Diagrama de influencia: verificar en al menos dos puntos conocidos