ogata-modern-control-engineering

name: ogata-modern-control-engineering description: "Katsuhiko Ogata《Modern Control Engineering》(5th Ed.) 核心知识。涵盖传递函数、状态空间、根轨迹、频域分析、PID 控制、状态反馈设计。当进行经典/现代控制系统分析与设计时使用。" metadata: author: HZB source: "Modern Control Engineering, 5th Edition (Katsuhiko Ogata, Prentice Hall, 2010)" version: "2.0"

Ogata 现代控制工程 (第5版) Skill

1. 数学建模

1.1 传递函数

G(s) = Y(s)/U(s) = N(s)/D(s)

• 零点：N(s)=0 的根
• 极点：D(s)=0 的根

1.2 状态空间

ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du

G(s) = C(sI-A)⁻¹B + D

1.3 建模转换

• 微分方程 → 传递函数（拉普拉斯变换）
• 传递函数 → 状态空间（可控/可观标准型）
• 状态空间 → 传递函数

2. 瞬态响应分析

2.1 一阶系统

G(s) = K/(Ts+1)

• 时间常数 T：响应到 63.2% 的时间
• 调节时间（2%）：t_s ≈ 4T

2.2 二阶系统

G(s) = ωn²/(s² + 2ζωn·s + ωn²)

• 超调量：Mp = e^(-πζ/√(1-ζ²))
• 峰值时间：tp = π/(ωn√(1-ζ²))
• 调节时间（2%）：ts ≈ 4/(ζωn)
• ζ<1 欠阻尼，ζ=1 临界阻尼，ζ>1 过阻尼

2.3 Routh 稳定判据

• 列写 Routh 表
• 第一列元素全正 → 稳定
• 第一列符号变化次数 = RHP 极点数

2.4 稳态误差

3. 根轨迹法

3.1 绘制规则

1. 起点（K=0）：开环极点
2. 终点（K→∞）：开环零点（无穷远处）
3. 分支数 = max(n_p, n_z)
4. 实轴上：右侧实极点+零点总数为奇数
5. 渐近线角度：(2k+1)×180°/(n_p-n_z)
6. 渐近线交点：σ = (Σp-Σz)/(n_p-n_z)
7. 分离点：dK/ds = 0
8. 出射角/入射角

3.2 设计应用

• 主导极点法：选择期望闭环极点位置
• 超前补偿：增加零点，吸引根轨迹
• 滞后补偿：改善稳态性能

4. 频率响应法

4.1 Bode 图

• 斜率变化：极点 -20dB/dec，零点 +20dB/dec
• 相位：极点 -90°，零点 +90°
• 转折频率：ω = 1/T

4.2 Nyquist 稳定判据

Z = N + P

• Z: 闭环 RHP 极点数（期望 0）
• N: Nyquist 曲线绕 (-1,j0) 的净圈数
• P: 开环 RHP 极点数

4.3 增益裕度与相位裕度

• GM = -20log|G(jωπ)| (dB)，ωπ: 相位穿越频率
• PM = 180° + ∠G(jωc)，ωc: 增益穿越频率
• 典型要求：PM ≥ 45°，GM ≥ 6dB

4.4 补偿设计

超前补偿：Gc = Kc(αTs+1)/(Ts+1), α>1

• 最大超前角：φmax = arcsin((α-1)/(α+1))

滞后补偿：Gc = Kc(βTs+1)/(Ts+1), β<1

• 提高低频增益，减小稳态误差

滞后-超前补偿：兼具两者优点

5. PID 控制器

5.1 标准 PID

u(t) = Kp·e(t) + Ki·∫e(τ)dτ + Kd·de/dt

5.2 Ziegler-Nichols 整定

方法一（反应曲线法）：

• 测量开环阶跃响应的 L（延迟）和 T（时间常数）
• P：Kp = T/L
• PI：Kp = 0.9T/L, Ti = 3.33L
• PID：Kp = 1.2T/L, Ti = 2L, Td = 0.5L

方法二（临界比例法）：

• 增大 Kp 直到等幅振荡，记录 Ku（临界增益）和 Tu（振荡周期）
• P：Kp = 0.5Ku
• PI：Kp = 0.45Ku, Ti = 0.83Tu
• PID：Kp = 0.6Ku, Ti = 0.5Tu, Td = 0.125Tu

5.3 二自由度控制

• 同时优化跟踪性能和扰动抑制性能

6. 状态空间方法

6.1 可控性

可控性矩阵 Co = [B AB A²B ... A^(n-1)B]

• 系统完全可控 ⟺ rank(Co) = n

6.2 可观性

可观性矩阵 Ob = [C; CA; CA²; ...; CA^(n-1)]

• 系统完全可观 ⟺ rank(Ob) = n

6.3 状态反馈极点配置

u = -Kx，K 通过 Ackermann 公式或直接比较法计算

6.4 状态观测器

全阶观测器：x̂̇ = Ax̂ + Bu + L(y - Cx̂)

• L 使 (A-LC) 稳定

降阶观测器：只估计不可直接测量的状态

6.5 分离定理

状态反馈增益 K 和观测器增益 L 可独立设计

7. MATLAB 命令速查

% 传递函数
sys = tf([1], [1 2 1]);

% 瞬态响应
step(sys); impulse(sys); lsim(sys, u, t);

% 根轨迹
rlocus(sys); sgrid(0.5, [1 2 3 4]);

% Bode 图
bode(sys); margin(sys);

% Nyquist 图
nyquist(sys);

% 状态空间
sys_ss = ss(A, B, C, D);
Co = ctrb(A, B); Ob = obsv(A, C);
K = place(A, B, [-1 -2 -3]);
L = place(A', C', [-10 -20])';

8. 关键公式速查