lewis-optimal-control

name: lewis-optimal-control description: "F.L. Lewis《Optimal Control》(3rd Ed.) 核心知识。涵盖 LQR/LQG、动态规划、Pontryagin 原理、H∞ 控制、自适应控制。当设计最优控制器或求解最优控制问题时使用。" metadata: author: HZB source: "Optimal Control, 3rd Edition (F.L. Lewis, V.L. Syrmos, Wiley, 2012)" version: "2.0"

Lewis 最优控制 (第3版) Skill

1. 最优控制问题

1.1 基本问题

min J = φ(x(tf),tf) + ∫₀ᵗᶠ L(x,u,t)dt
s.t.  ẋ = f(x,u,t), x(0) = x₀

• φ: 终端代价
• L: 运行代价

1.2 约束类型

• 控制约束：u ∈ U
• 状态约束：x ∈ X
• 终端约束：ψ(x(tf),tf) = 0

2. 变分法与 Pontryagin 原理

2.1 Hamilton 函数

H(x,u,λ,t) = L(x,u,t) + λᵀf(x,u,t)

2.2 最优性条件（必要条件）

ẋ = ∂H/∂λ = f(x,u,t)          （状态方程）
λ̇ = -∂H/∂x = -Lₓ - λᵀfₓ       （协态方程）
∂H/∂u = 0                      （最小值条件）

2.3 横截条件

• 固定终端：x(tf) = xf（无额外条件）
• 自由终端：λ(tf) = ∂φ/∂x|ₓ(tf)
• 自由终端时间：H(tf) = -∂φ/∂t|ₓ(tf)

2.4 Pontryagin 最小值原理

H(x*,u*,λ*,t) ≤ H(x*,u,λ*,t), ∀u ∈ U

• 允许控制约束为不等式

3. LQR（线性二次调节器）

3.1 连续时间 LQR

min J = ∫₀^∞ (x'Qx + u'Ru)dt
s.t.  ẋ = Ax + Bu

最优控制：u = -Kx, K = R⁻¹B'P P 满足 ARE：A'P + PA - PBR⁻¹B'P + Q = 0

3.2 LQR 性质

• 保证稳定裕度：GM ≥ 6dB, PM ≥ 60°
• 对参数变化鲁棒
• 最优闭环极点在 LQR 稳定区域边界

3.3 加权矩阵选择

• Q 大 → 状态调节快，控制量大
• R 大 → 控制量小，响应慢
• Bryson 法则：Q = diag(1/xᵢ,max²), R = diag(1/uⱼ,max²)

3.4 离散时间 LQR

min J = Σ(x'Qx + u'Ru)
s.t.  x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)

u(k) = -Kx(k), K = (R+B'PB)⁻¹B'PA DARE：P = Q + A'PA - A'PB(R+B'PB)⁻¹B'PA

4. LQG（线性二次高斯）

4.1 随机系统

ẋ = Ax + Bu + w,  w ~ N(0,Qn)
y = Cx + v,        v ~ N(0,Rn)

4.2 Kalman 滤波器

预测：x̂̇ = Ax̂ + Bu 更新：Kf = PC'(CPC'+Rn)⁻¹ 协方差：APA' + Qn - APC'(CPC'+Rn)⁻¹CPA' = P

4.3 分离定理

LQG = LQR + Kalman 滤波器，独立设计

5. 动态规划

5.1 Bellman 方程

V(x,t) = min_u {L(x,u,t) + V(x+ẋΔt, t+Δt)}

5.2 最优性原理

最优策略的子策略也是最优的

5.3 LQR 的 Bellman 解

V(x) = x'Px P 满足 Riccati 方程

6. H∞ 控制

6.1 动机

• 处理模型不确定性
• 最小化最坏情况性能

6.2 标准问题

min_K ‖Tzw‖∞

• Tzw：从外部扰动 w 到被调输出 z 的闭环传递

6.3 状态空间解

两个 Riccati 方程：

X: A'X + XA + C₁'C₁ - XB₂R⁻¹B₂'X + γ⁻²XBB'X = 0
Y: AY + YA' + B₁B₁' - YC₂'R⁻²C₂Y + γ⁻²YC'C Y = 0

7. 自适应控制

7.1 模型参考自适应控制 (MRAC)

• 参考模型：ẋm = Am·xm + Bm·r
• 控制律：u = θ'φ(x,r)
• 自适应律：θ̇ = -Γ·e·φ(x,r)

7.2 自校正控制

• 在线参数辨识 + 最优控制设计
• 辨识方法：RLS, 梯度法

7.3 Lyapunov 自适应设计

选择 Lyapunov 函数 V = e'Pe + θ̃'Γ⁻¹θ̃ 推导自适应律使 V̇ ≤ 0

8. MATLAB 命令

% LQR
[K, S, e] = lqr(A, B, Q, R);
[K, S, e] = dlqr(A, B, Q, R);  % 离散

% Kalman
[Kf, P, e] = kalman(sys, Qn, Rn);

% LQG
LQG = lqg(sys, Q_weight, R_weight);

% H∞
[K, CL, gamma] = hinfsyn(P, nmeas, ncont);

% Riccati 方程
[P, e, info] = care(A, B, Q, R);  % 连续
[P, e, info] = dare(A, B, Q, R);  % 离散

9. 关键公式