khalil-nonlinear-systems

name: khalil-nonlinear-systems description: "Hassan K. Khalil《Nonlinear Systems》(3rd Ed.) 核心知识。涵盖 Lyapunov 稳定性、输入输出稳定性、无源性、反馈线性化、奇异摄动、中心流形等。当处理非线性系统分析、稳定性证明、反馈控制设计时使用。" metadata: author: HZB source: "Nonlinear Systems, 3rd Edition (Hassan K. Khalil, Prentice Hall, 2002)" version: "2.0"

Khalil 非线性系统 (第3版) Skill

1. 非线性系统基本概念

1.1 系统模型

ẋ = f(t, x, u)    y = g(t, x, u)

• 自治系统：ẋ = f(x)（不显含 t）
• 非自治系统：ẋ = f(t, x)
• 平衡点：f(x*) = 0

1.2 典型非线性现象

• 多重平衡点、极限环（自持振振）、分岔、混沌、有限逃逸时间

2. Lyapunov 稳定性理论（核心）

2.1 稳定性定义

• 稳定：∀ε>0, ∃δ>0, ‖x(0)‖<δ → ‖x(t)‖<ε
• 渐近稳定：稳定 + x(t)→0
• 全局渐近稳定：渐近稳定 + δ 任意大
• 指数稳定：‖x(t)‖ ≤ α‖x(0)‖e^(-λt)

2.2 Lyapunov 直接法

定理 4.1（自治系统）：V(0)=0, V(x)>0 (x≠0), V̇(x)≤0 → 稳定；V̇(x)<0 → 渐近稳定

定理 4.5（非自治系统）：α₁(‖x‖)≤V(t,x)≤α₂(‖x‖), V̇≤-W₃(x) → 全局一致渐近稳定

2.3 比较函数

• K 类：α(0)=0, 连续严格递增
• K∞ 类：K 类 + α(r)→∞
• KL 类：β(r,s) 对 r∈K，对 s 递减趋于 0

2.4 LaSalle 不变性原理

设 Ω 紧集，V̇≤0，S={V̇=0}，M 为 S 中最大不变集 → Ω 内解趋于 M

2.5 指数稳定性

α₁‖x‖^p ≤ V ≤ α₂‖x‖^p, V̇ ≤ -α₃‖x‖^p → 指数稳定，收敛率 ≥ (α₃/α₂)/p

3. 输入-状态稳定性 (ISS)

3.1 ISS 定义

‖x(t)‖ ≤ β(‖x(0)‖, t) + γ(sup‖u‖)

3.2 ISS-Lyapunov 函数

V̇ ≤ -α(‖x‖) + σ(‖u‖), α∈K∞, σ∈K → ISS

3.3 ISS 小增益

γ₁∘γ₂ < id → 互联 ISS

4. 输入-输出稳定性

4.1 小增益定理

‖G₁‖·‖G₂‖ < 1 → 闭环 Lp 稳定

4.2 L₂ 增益

sup ‖y‖₂/‖u‖₂

5. 无源性

5.1 定义

• 无源：∫uᵀy dt ≥ 0
• 严格无源：∫uᵀy dt ≥ δ∫‖y‖² dt

5.2 KYP 引理

G(s) 严格正实 ⟺ ∃P>0, Q>0: PA+A'P=-Q, PB=C'

5.3 无源性定理

前向严格无源 + 反馈无源 → 闭环 L₂ 稳定

6. 频域分析

6.1 圆判据

扇区非线性 k₁≤φ(y)/y≤k₂：Nyquist 不进入以 -1/k₁, -1/k₂ 为直径的圆

6.2 Popov 判据

对 φ∈[0,k]：Re[G(jω)] + ω·Im[G(jω)] 满足 Popov 不等式

6.3 描述函数法

N(A) = Y₁/A，自振条件：1 + N(A)G(jω) = 0

7. 中心流形定理

对 ẋ = Ax + f(x)，A 有零实部特征值：

• 存在局部不变流形 Wᶜ：x = h(η)
• 流形上的动态决定原点稳定性

8. 扰动系统

8.1 消失扰动

原系统渐近稳定 + 消失扰动 → 局部渐近稳定

8.2 非消失扰动

ISS 保证：‖x‖ ≤ γ(δ₀)（最终有界）

8.3 互联系统

小增益条件：γ₁(γ₂(r)) < r → 全局渐近稳定

9. 奇异摄动

9.1 标准模型

ẋ = f(x,z,ε), εż = g(x,z,ε)

9.2 Tikhonov 定理

慢流形 g(x,z*,0)=0，慢/快子系统均渐近稳定 → 原系统渐近稳定（ε 足够小）

9.3 组合 Lyapunov 函数

V = V₁(x) + V₂(z-h(x))

10. 反馈线性化

10.1 相对度

LgLfᵏ⁻¹h = 0 (k=1,...,r-1), LgLfʳ⁻¹h ≠ 0

10.2 输入-输出线性化

y^(r) = Lfʳh + LgLfʳ⁻¹h·u，选 v 使 y^(r)=v

10.3 零动态

• 最小相位：零动态渐近稳定
• 非最小相位：零动态不稳定

10.4 设计步骤

1. 计算相对度 r
2. r=n → 全状态线性化
3. r<n → 输入输出线性化 + 分析零动态
4. 设计线性控制器
5. 变换回原坐标

11. 关键公式速查