feedback-control-dynamic-systems

name: feedback-control-dynamic-systems description: "Franklin, Powell, Emami-Naeini《Feedback Control of Dynamic Systems》(7th Ed.) 核心知识。涵盖经典控制、根轨迹、频域设计、状态空间、数字控制。当进行反馈控制系统分析与设计时使用。" metadata: author: HZB source: "Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition (Franklin, Powell, Emami-Naeini, Pearson, 2014)" version: "2.0"

Franklin 反馈控制系统 (第7版) Skill

1. 反馈控制基础

1.1 为什么需要反馈

• 扰动抑制
• 鲁棒性（对参数变化不敏感）
• 瞬态响应改善
• 稳态误差减小

1.2 基本反馈结构

R(s) → [+] → [C(s)] → [G(s)] → Y(s)
        ↑-                          |
        └───────────────────────────┘

T(s) = CG/(1+CG)，S(s) = 1/(1+CG)

2. 系统建模

2.1 物理系统建模

• 机械系统：F=ma, 弹簧 F=kx, 阻尼器 F=bv
• 电路：KVL/KCL, 阻抗法
• 电机：电磁转矩、反电动势

2.2 线性化

f(x) ≈ f(x₀) + (∂f/∂x)|ₓ₀·(x-x₀)

• 在工作点附近泰勒展开

3. 时域响应

3.1 一阶响应

y(t) = K(1-e^(-t/τ))

• τ: 时间常数，K: 增益

3.2 二阶响应

ωn²/(s² + 2ζωns + ωn²)

• 欠阻尼 (ζ<1): 振荡
• 临界阻尼 (ζ=1): 最快无超调
• 过阻尼 (ζ>1): 缓慢

3.3 改善瞬态响应的手段

• 增加阻尼 → 减小超调
• 增大带宽 → 加快响应
• 前馈 → 改善跟踪

4. 根轨迹设计

4.1 设计步骤

1. 确定性能指标（ζ, ωn, ts）
2. 在 s 平面标定期望极点位置
3. 绘制根轨迹
4. 添加补偿器使轨迹经过期望点

4.2 超前补偿

Gc(s) = (s+z)/(s+p), z < p

• 增加相位超前
• 改善瞬态响应
• 设计方法：相位裕度法或根轨迹法

4.3 滞后补偿

Gc(s) = (s+z)/(s+p), z > p

• 提高低频增益
• 改善稳态精度
• 不影响瞬态响应（远离原点设计）

4.4 超前-滞后补偿

Gc(s) = [(s+z₁)(s+z₂)] / [(s+p₁)(s+p₂)]

• 同时改善瞬态和稳态

5. 频域设计

5.1 灵敏度函数

S(s) = 1/(1+L(s)), L = CG

• |S(jω)| < 1 → 扰动被衰减
• |S(jω)| > 1 → 扰动被放大（灵敏度峰值）

5.2 补偿灵敏度

T(s) = L(s)/(1+L(s))

• T + S = 1
• |T| 小 → 噪声抑制

5.3 回路整形

• 低频高增益 → 稳态精度
• 中频穿越 → 稳定裕度
• 高频低增益 → 噪声抑制

5.4 二自由度控制

• 前馈：改善跟踪
• 反馈：抑制扰动

6. 状态空间设计

6.1 状态反馈

u = -Kx + Nr

• 可控 → 可任意配置极点

6.2 观测器设计

• 全阶：x̂̇ = Ax̂ + Bu + L(y-Cx̂)
• 降阶：只估计不可测状态

6.3 分离原理

K 和 L 可独立设计

6.4 最优控制

LQR：min ∫(x'Qx + u'Ru)dt

• Riccati 方程求解
• 全状态反馈 u = -Kx

7. 数字控制

7.1 采样与保持

• 采样定理：fs > 2fmax
• ZOH：采样值保持到下一采样时刻

7.2 z 变换

z = e^(sT)

• 差分方程 ↔ z 变换

7.3 数字 PID

u(k) = Kp[e(k) + Ts/Ti·Σe(i) + Td/Ts·(e(k)-e(k-1))]

7.4 离散化方法

• 前向差分：s ≈ (z-1)/T
• 后向差分：s ≈ (z-1)/(Tz)
• 双线性变换：s ≈ (2/T)·(z-1)/(z+1)

8. MATLAB 命令

% 根轨迹
rlocus(sys); rlocfind(sys);

% Bode
bode(sys); margin(sys);

% 阶跃响应
step(sys); stepinfo(sys);

% 状态空间
K = place(A, B, p);  % 极点配置
L = place(A', C', p)';  % 观测器
[K, S, e] = lqr(A, B, Q, R);  % LQR

% 离散化
sysd = c2d(sys, Ts, 'zoh');

9. 关键公式