math-guide - SKILL.md Agent Skill

name: math-guide description: "Gerar guia matemático em PDF para provas de artigos com modelos formais" argument-hint: "[arquivo do paper com provas formais]" allowed-tools: ["Read", "Write", "Edit", "Bash", "Glob", "Grep"]

Math Guide — Guia Matemático para Provas Formais

Gera um RMarkdown compilado em PDF que serve como guia autocontido de matemática para as provas de um paper com modelo formal. Não é livro-texto — é um documento focado que explica exatamente o que o leitor precisa saber para acompanhar cada demonstração.

Público-alvo

Pesquisador com background em:

Cálculo de uma variável (derivada, integral, TVI)
Análise real básica (continuidade, convergência)
Álgebra linear básica (autovalores)
Game theory de graduação (Nash, intuição de ponto fixo)

Ajustar o nível se o usuário especificar outro background.

Processo

Fase 1: Extração

Ler o paper completo — incluir apêndices.
Catalogar todos os resultados formais: proposições, lemas, corolários, teoremas, provas (inclusive proof sketches e provas em apêndice).
Para cada prova, identificar as ferramentas matemáticas: quais teoremas, definições e técnicas são usados. Exemplos típicos:
- Teoremas de ponto fixo (Brouwer, Banach/contração, Tarski, Kakutani, Schauder)
- Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Valor Médio
- Análise de sinal via derivada
- Teoria da ordem: lattices, mapas isotones, jogos supermodulares
- Estática comparativa monótona (Milgrom & Roberts 1990, Topkis)
- Distribuições log-côncavas e suas propriedades
- Raio espectral, Perron-Frobenius, Gershgorin
- Convergência dominada de Lebesgue
- Topologia: compacidade, convexidade, espaços métricos completos
- Correspondências (upper/lower hemicontinuity), Teorema do Máximo de Berge
- Programação dinâmica, princípio da otimalidade de Bellman
- Outros conforme o paper exigir

Fase 2: Estruturação

Organizar o guia nas seguintes seções:

Introdução — objetivo, pré-requisitos assumidos, notação do paper
Mapa: Prova → Pré-requisito — tabela-resumo ligando cada resultado formal à ferramenta matemática e à seção do guia
Seções temáticas (uma por tópico matemático necessário), cada uma contendo:
- Enunciado formal do teorema/definição (em ambiente \begin{theorem})
- Intuição em linguagem acessível
- Prova ou sketch da prova quando instrutivo
- Exemplo concreto (numérico quando possível)
- Conexão explícita com a prova do paper ("Na Proposição X, esse teorema é usado para...")
- Referências de livros-texto com capítulo/teorema específico
Exercícios por seção — 5 a 7 exercícios em escadinha de dificuldade:
- Exercícios 1-2: verificação direta / cálculo simples
- Exercícios 3-4: aplicação do conceito ao operador/modelo do paper
- Exercícios 5-6: prova curta ou generalização
- Exercício 7 (se houver): conexão entre temas ou contra-exemplo
- Cada bloco termina com "Soluções na Seção X"
Referências de livros-texto — tabela por tópico com referência principal e alternativa (com capítulo/teorema)
Soluções dos exercícios — soluções completas e detalhadas, organizadas por seção

Fase 3: Geração do RMarkdown

Criar arquivo .Rmd com:

YAML header:

---
title: "Guia Matemático para as Provas do Paper"
subtitle: "[título do paper]"
author: "Documento auxiliar"
date: "`r Sys.Date()`"
output:
  pdf_document:
    latex_engine: xelatex
    toc: true
    toc_depth: 3
    number_sections: true
header-includes:
  - \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
  - \usepackage{booktabs}
  - \usepackage{hyperref}
  - \newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
  - \newtheorem{definition}[theorem]{Definição}
  - \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposição}
  - \newtheorem{corollary}[theorem]{Corolário}
  - \newtheorem{lemma}[theorem]{Lema}
  - \newtheorem{example}[theorem]{Exemplo}
  - \newtheorem{remark}[theorem]{Observação}
  - \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
  - \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
  - \setlength{\parskip}{0.5em}
---

Figuras R: Incluir gráficos ilustrativos quando ajudarem (e.g., análise de sinal, ponto fixo visual, convergência). Usar fig.cap para legendas.

Cuidados com LaTeX:

Em ambientes \begin{theorem}[...], se o texto entre colchetes contém [ ou ], envolver com {...}: \begin{theorem}[{texto com $[0,1]$}]
Não usar \usepackage{mathtools} (causa problemas com TinyTeX desatualizado)
Não usar \usepackage{tikz} salvo se necessário e testado

Fase 4: Compilação

Salvar o .Rmd no mesmo diretório do paper (ou onde o usuário indicar)
Compilar com rmarkdown::render() via Bash
Se houver erro LaTeX:
- Identificar o pacote/comando problemático
- Substituir por alternativa compatível
- Recompilar
Reportar número de páginas do PDF final

Regras

Língua: português brasileiro para o texto, notação matemática em inglês conforme convenção
Tamanho alvo: 15-25 páginas (sem exercícios ~12-18, com exercícios ~20-30)
Autocontido: o leitor não precisa abrir outro livro para entender o guia. As referências são para quem quiser ir mais fundo
Conectado ao paper: toda definição/teorema deve ter uma subseção "Conexão com o paper" dizendo onde é usado
Exercícios graduados: sempre do mais fácil ao mais difícil, com saltos pequenos. O exercício mais fácil deve ser acessível a alguém que acabou de ler a seção. O mais difícil deve exigir combinar ideias
Soluções completas: não apenas "a resposta é X", mas o raciocínio passo a passo
Sem over-engineering: não explicar tópicos que não aparecem nas provas do paper

Formato de saída

[diretório]/math_guide_proofs.Rmd  (fonte)
[diretório]/math_guide_proofs.pdf  (compilado)

Checklist final

PDF compila sem erros
Todas as proposições/lemas/corolários do paper estão mapeados na tabela
Cada teorema tem: enunciado formal, intuição, exemplo, conexão com o paper
Referências de livros-texto com capítulos específicos
5-7 exercícios por tema, em escadinha de dificuldade
Soluções completas no final