complex-valued-gnn-control - SKILL.md Agent Skill

name: complex-valued-gnn-control description: "Complex-Valued GNN Control - 复数值图神经网络用于分布式基不变控制系统。核心技术：复数域几何表示、相位等变激活、全局基不变性。适用于GPS拒绝环境分布式控制。激活词：complex GNN, 复数值 GNN, basis invariant, 基不变控制."

Complex-Valued GNN Control Skill

复数值图神经网络实现分布式基不变控制系统。

核心来源

论文: "Complex-Valued GNNs for Distributed Basis-Invariant Control of Planar Systems"

arxiv: 2604.02615
关键贡献: 全局基不变的 GNN 参数化

核心问题

传统分布式 GNN 控制问题:

所有节点需在兼容基中收集几何观测
GPS 拒绝环境 → 无全局坐标
指南针拒绝 → 无全局方向参考

解决方案: 复数值表示 + 相位等变架构 → 全局基不变性

技术架构

1. 复数域几何表示

2D 几何特征 → 复数:

# 平面位置/速度 → 复数
z = x + iy  # 位置
v = v_x + i*v_y  # 速度

# 基变换 → 相位旋转
z' = z * e^(iθ)  # 旋转角度θ

关键洞察:

不同基选择 = 不同相位旋转
相位等变 = 基变换不变

2. 复数值 GNN 层

架构设计:

import torch
import torch.nn as nn

class ComplexLinear(nn.Module):
    """复数值线性层"""
    
    def __init__(self, in_features, out_features):
        super().__init__()
        # 复权重: W = W_real + i*W_imag
        self.W_real = nn.Parameter(torch.randn(out_features, in_features))
        self.W_imag = nn.Parameter(torch.randn(out_features, in_features))
    
    def forward(self, z):
        """
        输入: z (complex tensor)
        输出: W @ z (complex)
        
        数学: (W_r + i*W_i) @ (x + iy)
            = W_r @ x - W_i @ y + i(W_r @ y + W_i @ x)
        """
        x, y = z.real, z.imag
        
        out_real = torch.matmul(self.W_real, x) - torch.matmul(self.W_imag, y)
        out_imag = torch.matmul(self.W_real, y) + torch.matmul(self.W_imag, x)
        
        return torch.complex(out_real, out_imag)


class PhaseEquivariantActivation(nn.Module):
    """相位等变激活函数"""
    
    def __init__(self):
        super().__init__()
        # 激活作用于模，保持相位
        self.activation = nn.ReLU()
    
    def forward(self, z):
        """
        相位等变: f(z*e^(iθ)) = f(z)*e^(iθ)
        
        实现: 对模激活，保持相位不变
        """
        magnitude = torch.abs(z)
        phase = torch.angle(z)
        
        # 激活模
        activated_mag = self.activation(magnitude)
        
        # 重构复数
        return activated_mag * torch.exp(1j * phase)


class ComplexGNNLayer(nn.Module):
    """复数值 GNN 层"""
    
    def __init__(self, in_dim, out_dim):
        super().__init__()
        self.complex_linear = ComplexLinear(in_dim, out_dim)
        self.activation = PhaseEquivariantActivation()
    
    def forward(self, z, adjacency):
        """
        GNN 消息传递（复数值）
        
        z: 复数节点特征 (N, in_dim)
        adjacency: 邻接矩阵 (N, N)
        """
        # 消息聚合: Σ_j A_ij * z_j
        messages = torch.matmul(adjacency, z)
        
        # 复数线性变换
        transformed = self.complex_linear(messages)
        
        # 相位等变激活
        return self.activation(transformed)

3. 全局基不变性

不变性保证:

输入在基 B1: z = x + iy 输入在基 B2: z' = z * e^(iθ) (旋转θ)

GNN 输出:

# 相位等变架构保证
GNN(z') = GNN(z) * e^(iθ)

# 控制决策基不变
control(z') = control(z) * e^(iθ)

实际意义:

每个节点可用本地基（无需全局坐标）
控制决策相对于本地基一致
分布式控制全局协调

4. 分布式控制决策

架构流程:

class DistributedComplexGNNController(nn.Module):
    """分布式复数值 GNN 控制器"""
    
    def __init__(self, n_agents, state_dim, control_dim, n_layers=3):
        super().__init__()
        
        # GNN 层
        self.layers = nn.ModuleList([
            ComplexGNNLayer(state_dim, state_dim)
            for _ in range(n_layers)
        ])
        
        # 控制输出层
        self.control_head = ComplexLinear(state_dim, control_dim)
    
    def forward(self, states, adjacency):
        """
        分布式控制决策
        
        states: 复数状态 (N, state_dim)
        adjacency: 邻接矩阵
        """
        z = states
        
        # GNN 消息传递
        for layer in self.layers:
            z = layer(z, adjacency)
        
        # 每节点独立控制决策
        controls = self.control_head(z)
        
        return controls
    
    def distributed_execution(self, agent_id, local_state, neighbor_states):
        """
        单节点执行（无全局信息）
        
        agent_id: 本节点 ID
        local_state: 本节点状态（本地基）
        neighbor_states: 邻居状态（邻居基）
        """
        # 需处理基变换（邻居状态相位对齐）
        aligned_neighbors = self.align_bases(local_state, neighbor_states)
        
        # 本地消息聚合
        local_message = local_state + sum(aligned_neighbors)
        
        # 本地 GNN 处理
        z = local_message
        for layer in self.layers:
            z = layer.complex_linear(z.unsqueeze(0)).squeeze(0)
            z = layer.activation(z)
        
        # 本地控制决策
        control = self.control_head(z.unsqueeze(0)).squeeze(0)
        
        return control
    
    def align_bases(self, local_state, neighbor_states):
        """
        基对齐：邻居状态变换到本地基
        
        关键: 使用相对观测（相位差）
        """
        # 相对相位估计
        local_phase = torch.angle(local_state)
        aligned = []
        
        for neighbor in neighbor_states:
            neighbor_phase = torch.angle(neighbor)
            phase_diff = neighbor_phase - local_phase
            
            # 相位对齐
            aligned_neighbor = neighbor * torch.exp(-1j * phase_diff)
            aligned.append(aligned_neighbor)
        
        return aligned

应用场景

1. GPS 拒绝环境控制

# 无 GPS、无指南针
# 每节点使用本地基（相对方向）

controller = DistributedComplexGNNController(
    n_agents=10,
    state_dim=4,  # 位置(x,y) + 速度(vx,vy) → 2 complex
    control_dim=2  # 力(Fx,Fy) → 1 complex
)

# 分布式控制决策
controls = controller(states, adjacency)

2. 多机器人协调

# 机器人群体控制
# 无全局定位系统

# 每机器人：
# 1. 本地传感器（相对位置/方向）
# 2. 与邻居通信（相对观测）
# 3. 本地计算控制决策

3. 无人机集群

# 无 GPS 信号环境
# 无人机集群分布式控制

# 应用：室内、地下、干扰环境

技术优势

1. 基不变性

传统方法: 需全局坐标 → GPS 拒绝失效
复数值 GNN: 本地基 → 无需全局坐标

2. 分布式执行

传统集中式: 一个控制器 → 通信瓶颈
分布式 GNN: 每节点独立 → 实时响应

3. 相位等变

数学保证：基变换 → 输出同步变换

f(z*e^(iθ)) = f(z)*e^(iθ)

与其他技能关联

distributed-control: 分布式控制基础
gnn-transformer-fusion: GNN 架构设计
geometry-aware-spiking-gnn: 几何感知 GNN
quantum-eeg-foundation: 复数域处理（量子态）

实现要点

1. 复数值激活函数

选择:

ReLU(mod) + 保持相位 ✓
sigmoid(mod) ✓
tanh(mod) ✓

避免:

直接复数激活（破坏相位等变）

2. 基对齐策略

相对观测:

# 相位差估计
phase_diff = angle(neighbor) - angle(local)

# 对齐变换
aligned = neighbor * e^(-i*phase_diff)

3. 训练策略

数据增强:

# 随机基变换（训练不变性）
def augment_with_random_basis(states):
    random_phase = torch.rand(1) * 2 * np.pi
    return states * torch.exp(1j * random_phase)

损失函数:

# 控制任务损失 + 不变性损失
L = L_task + λ * L_equivariance

关键洞察

核心创新:

复数域表示 → 几何特征自然编码
相位等变 → 基变换不变性
分布式架构 → 实时控制

应用价值:

GPS 拒绝环境控制
无全局定位系统场景
保密/隐私分布式控制

研究前沿

3D 系统扩展（复数 → 四元数）
非平面系统
动态拓扑网络
异构多智能体

工具依赖

pip install torch numpy

注意事项

平面系统（2D）假设
需邻居通信（相对观测）
相位估计可能有噪声
训练需要基变换数据增强

复数之美，基不变之智，分布式之力。